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國一精修數學﹝自守數﹞
發問:
所謂的自守數就是將它平方後它會再尾巴重新出現﹝0，1不計﹞，那麼在一位數中很顯然的只有5，6是自守數。求所有兩位數的自守數。 Q1.求算式AND答案﹝請詳解 ﹞
最佳解答:
在十進制數字中，5、6、25、76、376、625 在十進制的k位數中，最多有兩類自守數，一個個位數字為5，另一個個位數字為6（除非k = 1，該數為3） 一個形式為 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/7/7/877d87947548e36f49cc608f587811e2.png 。 其和必定為10k + 1 類似的，自守數可以推廣到高次。如果把原來意義上的自守數稱為2階的話，把形如 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/6/7/a6766466c093b2de541344dfbe976a7b.png 3階自守數的列表：1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99 2011-03-22 23:27:33 補充： 考慮二位數 10a + b (10a + b)2 ≡ 10a + b (mod 100) 20ab + b2 - 10a - b ≡ 0 (mod 100) 10a(2b - 1) + b(b - 1) ≡ 0 (mod 100) 試驗後得 b = 5 或 6（否則左方個位不為 0） 若 b = 5，90a + 20 ≡ 0 (mod 100)，a = 2 若 b = 6，110a + 30 ≡ 0 (mod 100)，a = 7 所有二位數的自守數為 25 及 76。 2011-03-22 23:28:15 補充： 自守數： 5 , 25 , 625 , 90625 , 890625 , 2890625 , 12890625 , ..... 6 , 76 , 376 , 9376 , 109376 , 7109376 , 87109376 , .....
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